algebraisch abgeschlossen
- algebraisch abgeschlossen
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Eigenschaft eines
Körpers K, wenn jede
algebraische Gleichung mit Koeffizienten aus
K eine Lösung besitzt, die selbst
Element aus
K ist. Jedes
algebraische Element über einen algebraisch abgeschlossenen Körper
K gehört also bereits zu
K. Die Körper der rationalen und der reellen Zahlen sind nicht algebraisch abgeschlossen, da z. B. die Gleichungen
x2 — 2 = 0 und
x2 + 1 = 0 keine rationalen beziehungsweise reellen Zahlen als
Lösungen haben. In einem algebraisch abgeschlossenen Körper lässt sich jedes
Polynom mit Koeffizienten aus dem Körper in Linearfaktoren zerlegen. So gilt z. B. im Körper C der komplexen Zahlen für das Polynom
P (
x ) =
x2 + 1 die Zerlegung
P (
x ) = (
x + i) (
x — i), wobei i = die imaginäre
Einheit ist.
Universal-Lexikon.
2012.
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